固体物理总结6

第六部分 自由电子费米气体

1 金属自由电子论的物理模型

金属自由电子论对于解释金属，特别是简单金属的许多重要物理性质非常成功。其基本假定是

(a) 自由电子近似：当金属原子聚集成为金属晶体时，原子的价电子脱离了母体原子而在金属晶体中自由运动．金属自由电子论认为，离子实对电子的作用是可以忽略不计的，离子实的作用仅仅是维持整个金属晶体的电中性。

(b) 独立电子近似: 金属自由电子论忽略了电子与电子间的相互作用。

(c) 弛豫时间近似：假定电子在单位时间内受到一次碰撞的几率为

，称为弛豫时间．电子通过碰撞和周围环境达到热平衡，电子经过每次碰撞后，其速度的方向是随机的，速率的大小由碰撞处的局部温度决定．碰撞的后果和碰撞时电子的状态无关．

早期的金属自由电子论[特鲁德(Drude)模型]把金属中的传导电子看作自由电子经典气体，服从麦克斯韦-玻尔兹曼统计；近代自由电子论[索末菲(Sommerfeld)模型]把金属中的传导电子看作自由电子费密气体，服从费密-狄喇克统计．

2 费密-狄喇克统计

在温度T下，能量为的状态被电子占据的几率为

(6.1)

是电子气体的化学势，它是温度的函数。在绝对零度时，，是电子气体的费米能.

3 三维自由电子气体的能级和状态密度

自由电子波函数满足单电子薛定谔方程

(6.2)

在周期性边界条件下，波函数具有行波形式

(6.3)

式中V是晶体体积，波矢k取一系列分立值

(6.4)

自由电子的能量为

(6.5)

动量为

(6.6)

速度为

(6.7)

自由电子在波矢空间中的等能面是球面．波矢空间中的一个点[平均占体积]代表自旋相反的两个状态，可容纳自旋相反的两个电子．

自由电子的状态密度定义为单位体积的晶体在单位能量间隔中的状态数，故

[在能量范围中的状态数] (6.8)

三维自由电子的状态密度为

(6.9)

4 自由电子在基态下的性质

对于由N个自由电子组成的系统，基态(绝对零度)下被电子占据的状态可以用波矢空间中一个球内的点来表示，这个球称为费米球．费密球的半径

称为费米波矢量，

(6.10)

仅决定于电于浓度n．通常我们用无量纲量表示电子浓度，定义为体积等于每个自由电子平均所占体积的球体的半径，即

(6.11)

是玻尔半径，. 于是, 式(6.10)又可写为

(6.12)

费密面是基态下电子所填充到的最高等能面．自由电子费密面是球面．费密面把基态下波矢空间中已被电子占据的状态和未被电子占据的状态分开．由于泡利原理的限制，远离费密面的电子被冻结，只有费密面附近的电子才在低能激发中是活跃的．所以，只有费密面附近的电子才决定金属的动力学性质．

费密面上电子的能量称为费密能，

费密面上电子的速度称为费密速度，

费密温度由费密能定义

(6.17)

费密面附近电子的状态密度为

用自由电子的状态密度和分布函数，很容易计算出基态下三维自由电子气体的能量密度，

(6.20)

自由电子气的压强为

(6.21)

体弹性模量为

(6.22)

5 自由电子气体的热学性质

引用自由电子的状态密度和费密分布函数，自由电子的能量密度为

(6.23)

电子浓度为

(6.24)

通常可以借助索末菲展开式计算以上的积分.

由u和n的积分，计算出自由电子的热容为

(6.25)

约为经典值的0.01倍. 式中N是自由电子数，.

低温下金属的热容可以写为电子热容和点阵热容之和，

(6.26)

其中和A是两个常量.

6 电导和欧姆定律

在外加恒定电场下，波矢空间中的自由电子费密球以均匀的速率漂移．考虑到电子所遭遇的碰撞，稳态下费密球的位移为

(6.27)

其中为弛豫时间. 决定电子的漂移速度（平均速度）v

(6.28)

由此可以导出自由电子的电导率为

(6.29)

其中弛豫时间主要由电子-声子和电子-杂质缺陷间的碰撞决定。根据马提生(Matthiessen)定则，在杂志缺陷浓度不太高时，各种碰撞机制可以独立处理，

(6.30)

其中和分别是电子-声子，电子-杂质缺陷的碰撞几率. 于是对含有少量杂志缺陷的金属，电阻率可以写为两部分之和

(6.31)

其中是热声子所引起的电阻率，是剩余电阻率，由静态缺陷决定．

7 电子在外加磁场中的运动

经典近似下，电子在外加电磁场中的漂移动量p满足如下方程式

(6.32)

其中，是电子的漂移速度，是弛豫时间，

是外力. 相当于电子遭受碰撞而引入的摩擦阻力. 在外加电磁场下

(6.33)

自由电子漂移速度所满足的方程式为

(6.34)

由此方程可以导出金属的霍尔系数，

(6.35)

用电子的漂移速度方程，联同麦克斯韦方程组，可以导出自由电子气体的等离子振荡频率，并讨论金属的光学性质．

8 金属热导率

用自由电子模型，可以导出自由电子的热导率

(6.36)

并求出洛伦兹数L，

(6.37)