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图1 石墨烯的能带结构

在固体物理学中，固体的能带结构（又称电子能带结构）描述了禁止或允许电子所带有的能量，这是周期性晶格中的量子动力学电子波衍射引起的。材料的能带结构决定了多种特性，特别是它的电子学和光学性质。今天，我们带您细数能带结构的测试方法。实验组扬长避短直接上实验仪器测量，而理论组更喜欢使用第一性原理来计算。

方法一：角分辨光电子能谱（ARPES）

图2 (a) ARPES 实验几何示意图和(b)光发射过程示意图

角分辨光电子谱通过测量不同初射角度的光电子的动能，就可以得到电子在固体中平行于样品表面的动量分量。将得到的能量和动量对应起来，就可以得到材料中电子的色散关系。同时，APERES也可以得到能态密度曲线和动量密度曲线，并直接给出固体的费米面。这是一种实验方法。

方法二：回旋共振

回旋共振就是当半导体中的载流子在一定的恒定磁场和高频电场同时作用下会发生抗磁共振的现象。将一块半导体置于均匀恒定的磁场中，设磁场的感应强度为B，若半导体中电子初速度为v，v与B间夹角为Θ，则电子受到的磁场力f为：f=(-e)(v×B)。

电子在恒定磁场中的运动

回旋共振实验中，除了在半导体样品上加一恒定磁场外，还要再施加一个交变电磁场，并让电分量E垂直于磁场，则电子一方面绕磁场做螺旋运动；另一方面又受到交变磁场作用，当电磁场的频率与电子的回旋频率相同时，它们将不断被交变电场加速，从而获得能量，引起共振吸收。

通过测定共振吸收时的电磁场的频率和磁感应强度B，就可以求得有效质量。通过改变磁场方向，测量共振吸收峰的个数和位置变化，还可以确定能带极值在布里渊区中的分布，以及能带面形状。这是一种实验方法。

方法三：正交平面波方法

图3 Muffin-Tin势示意图

正交平面波方法是利用一种简单的方法把价带和导带电子态用平面波展开。展开波函数的基为一组与本征能量波函数正交的平面波。所以，该方法叫做正交平面波方法（OPW）。该方法克服了描述原子核附近急剧变化的波函数的难题。用类似的方法可组合归一化的OPW函数描述布里渊区对称点的平面波。形成晶体空间群不可约表示的基函数。这是一种计算模型。

方法四：缀加平面波（APW）方法

图4 平面波

缀加平面波（APW）方法是利用一种所谓Muffin-Tin势，它由离子位置中心处球对称的势的部分加上间隙部分常数势部分组成，在球对称势里一个电子的运动薛定谔方程可以在球极坐标解出。缀加平面波等同于在球形势对称区域以外的平面波，它是球简谐解与球对称势中径向函数的乘积的线性组合。选择适合的参数来符合可接受的波函数的需要，在球对称势的极限时，两个区域的波函数必须在数值上和它们的对数微分上匹配，该方法最初由Slater(1937)提出，后来计算机技术的发展，可以方便地应用到计算中去。APW函数的数目依赖于晶体结构以及所涉及能带的类型。通常s和p带比较快收敛，而d带较慢收敛。这是一种计算模型。

方法五：格林函数方法

图5 拓扑绝缘体能带结构

格林函数方法，也叫KKR方法（Korringa，Kohn 和Rostoker）。该方法也是假定Muttin-Tin势再在球对称势区域以外带一个常数势。波函数设想为被势本身所散射。所以Korringa(1947)把波函数分成进入和出来两个分量。Kohn和Rostoker(1954)引入一种积分方程的方法。该积分写为对所有的Muffin-Tin球的积分。它实际上非常类似于APW方法。KKR方法中必须对所有倒格矢求和，于是可以得到来自不同的球谐振函数的贡献的久期方程。这是一种计算模型。

方法六：赝势法

赝势，就是把离子实的内部势能用假想的势能取代真实的势能，但在求解波动方程时，不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数。由赝势求出的波函数叫赝波函数，在离子实之间的区域真实的势和赝势给出同样的波函数。

赝势法是用一个有效势来代替真实势。对于一些晶体来说，计算Muffin-Tin势的分布特别繁杂。一种取代的方法是原子势用一个弱势来代替，对导带电子来说，它具有KKR方法情况中同样的离散振幅。这是一种计算模型。

方法七：K·P方法

于窄禁带半导体来说，采用k·p微扰方法很有效。这一方法假定晶体在k=0的全部状态U n （0，r）和能量E n （0）都已知，然后根据晶体对称性采用微扰方法求k=0附近的E n （k）的表达式及波函数，在k空间特殊点的能带结构可以通过实验求得的禁带宽度、电子、空穴有效质量等能带参数来确定，于是从k·p微扰方法就可确定k空间其他点的能带结构。由于半导体禁带宽度窄，导带价带电子相互作用强，电子自旋轨道相互作用强，用微扰方法可以很好的处理这些作用。因此，k·p微扰对于窄禁带半导体尤为重要。

参考资料：

黄昆，固体物理，高等教育出版社；

Nanoscale，2013，DOI: 10.1039/C5NR07705B；

Physical Review，1963，129(1)，138-149；

Physical Review，1966，152(2)，152-158；

Nature Materials，2015，DOI: 10.1038/NMAT4205；

Solid State Communications，152(2012)，1089-1093；

Solar Energy Materials and Solar Cells，45(1997)，385-399。